Sequeira-Chabarría, Filánder de los A.

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    Aspectos computacionales del método Local Discontinuos Galerkin para mallas no estructuradas en 3D
    (2010-11) Sequeira-Chabarría, Filánder de los A.; Steinberg, Lev; College of Arts and Sciences - Sciences; Vásquez Urbano, Pedro; Castillo, Paul; Department of Mathematics; Vélez Reyes, Miguel
    Muchos de los problemas físicos y de ingeniería son modelados a través de ecuaciones diferenciales e integrales, los cuales, en la mayoría de los casos, no tienen una solución analítica. Por esta razón, se recurre a aproximar la solución por medio de métodos numéricos. En las últimas décadas, se han propuesto una serie de métodos basados en aproximaciones discontinuas, con el fin de preservar propiedades físicas del problema, conocidos como métodos discontinuos de Galerkin (DG por sus siglas en ´ıngles). En particular, el método “Local Discontinuous Galerkin” (LDG), ha sido ampliamente estudiado en los últimos años. Varios artículos se han dedicado al análisis de la estabilidad y la convergencia del método aplicado a los problemas de difusión lineal y no lineal y a operadores diferenciales de alto orden. En esta tesis se proponen varios aspectos acerca de una implementación eficiente del método LDG aplicado a problemas lineales elípticos de segundo orden para mallas no estructuradas en 3D. Todos los trabajos e implementaciones, conocidas hasta la fecha, para el método LDG con mallas no estructuradas son para dominios en R2. Por tal razón, se desarrolló un marco computacional abstracto para implementar varios métodos DG. Los operadores más relevantes del LDG se describen de manera simplificada utilizando el producto de Kronecker. Se propone un algoritmo rápido para ensamblar el complemento de Schur de manera explícita, el cual reduce almacenamiento. Además, el código descrito muestra una gran flexibilidad debido a que está basado en el diseño de estructuras de datos abstractas. Se presentan una serie de experimentos numéricos para validar el código y para ilustrar el funcionamiento del método para mallas no estructuradas en 3D. En artículos previos se ha probado que el condicionamiento espectral de la matriz de rigidez presenta un comportamiento asintótico de O(h−2) en mallas estructuradas y no estructuradas donde h es el tamaño de la malla. Lo que hace necesario precondicionadores eficientes. Se presentan precondicionadores multiniveles semi-algebraicos para aproximaciones lineales que utilizan la base de interpolación de Lagrange. Estos fueron implementados y estudiados para la matriz del sistema generado de la discretización del LDG. Se muestra numéricamente que su rendimiento no se degrada o por lo menos se incrementa muy levemente según aumenta el número de incógnitas. Los precondicionadores son probados en problemas con grandes saltos en los coeficientes.