Serna-Rapello, Cesar

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    Factorizaciones donde cada factor de un elemento pertenence a solo una clase de equivalencia
    (2014-08) Serna-Rapello, Cesar; Ortiz-Albino, Reyes M.; College of Arts and Sciences - Sciences; Barety, Julio E.; Castellini, Gabriele; Department of Mathematics; Palomera, Reogelio
    En el año 2006, Anderson y Frazier desarrollaron la teoría de τ -factorizaciones sobre dominios integrales, como una extensión de las factorizaciones comaximales de McAdam y Swan. La teoría de τ -factorizaciones generaliza el concepto de factorizaciones en la forma usual, y consiste en restringir el dominio de la operación producto de un dominio integral D a una relación simétrica sobre el conjunto de elementos distintos de cero y no unidades de D. Esta teoría ha sido estudiada por Hamon, Ortiz-Albino, Juett, Florescu, entre otros. Este trabajo se enfoca en estudiar la teoría de τ -factorizaciones cuando τ es una relación de equivalencia. Existen diversas razones para considerar relaciones de equivalencia en el estudio de las τ -factorizaciones, la principal es el historial de importacia no sólo en el álgebra abstracta, si no también en las matemáticas en general. Por el aspecto de la teoría, considerar relaciones de equivalencia marca el estudio de relaciones que no son ”artificiales”, es decir, aquellas relaciones cuyo dominio es casi toda la estructura algebraica (esto es más difícil que lo que los autores principales consideraron). Además, los principales resultados en la teoría de τ -factorizaciones, se han obtenido para relaciones divisibles; cuando se trabaja con relaciones de equivalencia no se puede asumir la propiedad de divisibilidad de la relación. Por último, hallar ejemplos de relaciones de equivalencia multiplicativas y que preserven asociados. Hamon estudió parcialmente las relaciones de equivalencia módulo n en el dominio de los números enteros. En base a su investigación y otros acercamientos de Juett, se creía que no había muchos ejemplos de relaciones de equivalencia que sean multiplicativas y preserven asociados. En este trabajo se presentan tres familias infinitas de relaciones de equivalencia que satisfacen estas condiciones. Además, se proveen resultados de propiedades de factorizaciones, bajo estas condiciones, demostrando que ser una relación divisible es una condición suficiente, pero no necesaria para hacer τ -refinamientos. Además, se estudian relaciones de equivalencia que no necesariamente satisfacen la propiedad de preservar asociados. Cuando se extendieron las relaciones de equivalencia unitarias a relaciones de equivalencia que preservan asociados, se obtuvo que las propiedades de factorizaciones, tanto en la relación original como en la de su extensión, son equivalentes. En conclusión, se puede asumir que si la relación de equivalencia es unitaria, preserva asociados. Al factorizar, se obtiene un resultado equivalente al que posee la relación unitaria que no preserva asociados. Por último, se presenta una extensión multiplicativa para las relaciones de equivalencia módulo n. La misma puede servir de modelo para hallar varias propiedades y se presentan algunos posibles trabajos futuros con respecto a este tipo de extensiones de relaciones de equivalencia.