Alvarado-Hernández, Arlin J.

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    Método "Local Discontinuous Galerkin" para la ecuación vectorial de Helmholtz
    (2014-08) Alvarado-Hernández, Arlin J.; Castillo, Paul E.; College of Arts and Sciences - Sciences; Steinberg, Lev; Rozga, Krzysztof; Department of Mathematics; Ierkic, Mario
    Algunos de los fenómenos electromagnéticos que ocurren en diversas aplicaciones de ingeniería y problemas físicos, producto de la interacción de campos eléctricos y magnéticos, carga y corriente eléctrica, son modelados por medio de las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia. Puesto que dichos fenómenos electromagnéticos se presentan por lo general en geometrías complejas y materiales heterogéneos, el uso de métodos "Discontinuous Galerkin" (DG) es apropiado para la solución numérica. La formulación de los métodos DG permiten de manera natural el refinamiento en espacio y en el grado de aproximación y además el uso de mallas con nodos colgantes En este trabajo se presenta un estudio numérico de dos formulaciones del método "Local Discontinuous Galerkin" (LDG) aplicado a la ecuación vectorial de Helmholtz en 3D. Los principales operadores que componen el método se describen usando notación tensorial. Se propone la aplicación de un fujo numérico más mbinaciones convexas. El marco computacional desarrollado im- simple basado en complementa algunas de las propiedades del método como son aproximaciones de alto orden y orden variable por celda en mallas no estructuradas para geometrías 3D Se realizan una serie de experimentos para validar el código. Se presentan órdenes de convergencia para el método LDG en problemas con soluciones suaves y de poca regularidad. Se lleva a cabo un estudio numérico que muestra que el comportamiento del error es independiente del grado del polinomio al hacer variar el parámetro de estabilidad. Finalmente, se valida numéricamente la escalabilidad de una técnica de pre- condicionamiento desplazado para la ecuación vectorial de Helmholtz. Los resultados numéricos sugieren un comportamiento independiente del parámetro que controla el esténcil y grado del polinomio.
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    Métodos multiniveles para discretizaciones generadas por el método "Local Discontinuous Galerkin"
    (2019-05-15) Alvarado-Hernández, Arlin J.; Castillo, Paul E.; College of Arts and Sciences - Sciences; Ierkic, Mario; Rozga, Krzysztof; Gutierrez, Gustavo; Department of Mathematics; Macchiavelli, Raúl
    Un desafío computacional de interés es cómo acelerar un método iterativo para resolver un sistema lineal proveniente de ecuaciones diferenciales parciales discretizados por métodos discontinuos. Los métodos “Discontinuous Galerkin” (DG) son utilizados por sus atractivas propiedades tales como aproximación de alto orden, ser un método conservador y por no imponer continuidad entre celdas. Sin embargo, se conoce que el condicionamiento de la matriz de rigidez tiene un comportamiento asintótico de O(h^{−2}), donde h es el tamaño de la malla. Es necesario el uso de una estrategia que reduzca el condicionamiento y mejore la convergencia del método iterativo, a esto se le conoce como precondicionador. Las técnicas multiniveles son bien conocidas por su buen desempeño en reducir el condicionamiento de sistemas lineales derivados de la discretización de ecuaciones diferenciales parciales lineales; ya sea por el método de diferencias finitas, método de los elementos finitos y métodos DG. En este trabajo se presenta un análisis de Fourier de tres técnicas multiniveles, dos versiones geométricas y una versi ́on semi-algebraica, aplicada a discretizaciones del método LDG. Se compararán dos estrategias geométricas, una utiliza la prolongación natural, y la otra, una prolongación formulada en esta tesis. Este operador de prolongación está basado en transferir al espacio de mayor dimensión unas combinaciones convexas de funciones que pertenecen al espacio de menor dimensión. Con la ayuda del análisis de Fourier se seleccionan los valores apropiados para la prolongación que depende de los parámetros del método LDG, con el propósito de minimizar el factor de convergencia. El análisis de dos niveles es extendido para estimar el radio de convergencia de la técnica multiniveles semi-algebraica, estrategia basada en el colapsado de nodos y se ilustra su buen rendimiento como método iterativo de dos niveles. Se hará un estudio del espectro de las técnicas de relajación tales como los métodos Jacobi, Gauss Seidel y Gauss Seidel simétrico, en el dominio de la frecuencia. Se plasma una serie de experimentos para validar los estimados obtenidos por el análisis de Fourier. Los resultados sugieren que la versión semi-algebraica es la más rápida en converger, seguido por la técnica de multiniveles propuesta en esta tesis.