On the number of τ(n)-factor

Abstract

In 2006, Anderson and Frazier defined the theory of τ-factorization as a generalization of the theory of comaximal factorizations given by McAdam and Swan. The theory of τ-factorization was built on integral domains. The idea can be associated with a restriction to the multiplicative operation. That is, they considered a symmetric relation τ on the nonzero nonunit elements of an integral domain and allowed two or more elements to be multiplied if and only if they were pairwise related. Formally, a nonzero nonunit element a of an integral domain D (denoted by D#) has a τ -factorization if a = λa1 ∗ · · · ∗ ak, where λ is an unit element and for any i#j, ai τ aj . In order to expand our vocabulary with respect to this concept, the ai ’s will be called τ -factors and a a τ -product of the ai ’s. This work studied a specific relation on the set of integers defined by Frazier and Anderson, and further studied by Hamon, Ortiz, Lanterman, Florescu, Serna and Barrios. Note that the notation and definition that will be used follows from Hamon’s work. They defined the relation τ(n) (also denoted as τn) on Z# by a τ(n) b if and only if a − b ∈ (n), the principal ideal generated by n. The main goal in this research was to find formulas that count the number of τ(n)-factors of an integer distinct to 0, 1 and -1. These formulas would be very useful tool to identify which elements cannot be τ(n)-factored properly.

En 2006, Anderson y Frazier definen la teoría de τ -factorización como una generalización de la teoría de factorizaciones comaximales hecha por McAdam y Swan. La teoría de τ -factorización se construyó sobre dominios integrales. La idea puede ser asociada con una restricción de la multiplicación. Es decir, se considera una relación simétrica τ sobre los elementos no unidades y distintos de cero de un dominio integral, y que dos o más elementos pueden multiplicarse si y sólo si están relacionados entre si. Formalmente, un elemento distinto de cero y no unidad a de un dominio integral D (denotado por D#) tiene una τ -factorización si a = λa1 ∗ · · · ∗ ak, donde λ es una unidad, y para cualquier i # j, ai τ aj . Con el fin de ampliar nuestro vocabulario con respecto a este concepto, los ai ’s serán llamados τ -factores, y a un τ -producto de los ai ’s. En este trabajo se estudió una relación específica sobre el conjunto de los enteros definida por Frazier y Anderson, y estudiada posteriormente por Hamon, Ortiz,Lanterman, Florescu, Serna y Barrios. Debe tenerse en cuenta que la notación y definición que se utiliza es la misma del trabajo de Hamon. Ellos definen la relación τ(n) (también conocida como τn) sobre Z # como a τ(n) b si y sólo si a−b ∈ (n), el ideal generado por n. El principal objetivo de esta investigación era encontrar fórmulas que cuenten el número de τ(n)-factores de un número entero distinto de 0, 1 y -1. Estas fórmulas serán una herramienta muy útil para identificar los elementos que no pueden ser τ(n)-factorizados propiamente.