Propiedades de algunos T-conjuntos

Abstract

The theory of τ -factorizations on integral domains was developed in 2006, by Anderson and Frazier. This is a type of generalize factorization where τ is a symmetric relation on the nonzero nonunit elements and factors of the factorization are pairwise related. To formalize the idea, let D be an integral domain, U(D) the set of units of D, and D# the set of nonunits and nonzero elements of D. A τ factorization of an element x in D# is an expression of the form x = λx1· x2 · · · xn where xiτ xj for all i ≠ j with i, j ∈ {1, 2, . . . , n} and λ ∈ U(D). Also, each xi is called a τ -factor of x and x is said to τ -divide x (denoted by xi |τx). If τ = D×D, then the τ -factorizations of a element x in D# and the usual factorizations on D are equivalent. If the relation τ is defined by xτy if and only if (x, y) = D (where (x, y) is the ideal generated by x and y), the comaximal factorizations studied by McAdams and Swan are obtained. Anderson and Frazier highlighted three main type of relations in this theory of τ -factorization. These relations are the following: divisive, multiplicative, and associated-preserving relations. In 2014, Vargas defined the concepts of the τ -sets with specific properties regarding an element based on these three types of relations. In this work, we studied the types of relations mentioned above from another perspective. Moreover, these concepts are co-divisible, co-multiplicative, and co-associated-preserving relations with respect to an element. The document focused on the τ -sets, the generalization of their structure, and the connection of these with the theory of τ -factorization. Some properties that these sets satisfy were developed and we obtained some equivalences between the three types of relations considered in terms of these τ -sets. Furthermore, the first attempt to carry this theory to some categorical concepts was made, such as the Galois connections; which permitted us to establish equivalences for the relations divisible, multiplicative, and associated-preserving relations, allowing the connection between different τ -sets.||La teoría de las τ -factorizaciones sobre dominios con integridad se desarrolló en el año 2006 por Anderson y Frazier. Esta es un tipo de factorización generalizada donde los factores se relacionan por pares con respecto a una relación simétrica sobre los elementos del dominio distintos de cero que no son unidades. Antes de formalizar el concepto de τ -factorizaciones denotemos D como un dominio con integridad, U(D) el conjunto de los elementos invertibles o unidades de D y D# el conjunto de los elementos en D no unidades y distintos de cero. Una τ -factorización de un elemento x ∈ D# es una expresión de la forma x = λx1· x2 · · · xn donde xiτ xj para todo i ≠ j con i, j ∈ {1, 2, . . . , n} y λ ∈ U(D). Adem ́as, a cada xi se le llama un τ -factor de x y xi se dice que τ -divide x (denotado por xi |τx). Si τ = D × D, entonces las τ -factorizaciones de un elemento x en D# y las factorizaciones usuales sobre D coinciden. Si la relación τ esta dada por xτy si y solo si (x, y) = D (donde (x, y) es el ideal generados por x y y ), se obtienen las factorizaciones comaximales estudiadas por McAdams y Swan. Anderson y Frazier resaltaron tres tipos de relaciones principales en esta teoría de la τ -factorización. Estas relaciones son: divisible (la cual en inglés llamaron “divisive”), multiplicativa y relaciones que preservan asociados. En el 2014, Vargas definió los conceptos de los τ -conjuntos con propiedades específicas respecto a un elemento basados en estos tres tipos de relaciones. En este trabajo se estudiaron los tres tipos de relaciones mencionados anteriormente desde otra perspectiva. Además, se definieron los conceptos de relaciones co-divisible, co-multiplicativa y que co-preservan asociados con respecto a un elemento. Este documento se enfocó en los τ -conjuntos, la generalización de su estructura y la conexión de estos con la teoría de la τ -factorización. Se desarrollaron algunas propiedades que estos conjuntos satisfacen y se lograron obtener algunas equivalencias entre los tres tipos de relaciones consideradas en términos de estos τ -conjuntos. Más aún se dio el primer intento de llevar esta teoría a algunos conceptos categóricos como lo son las conexiones de Galois; las cuales permitieron establecer equivalencias para las relaciones divisibles, multiplicativas y que preservan asociados mediante estas y permitió conectar entre sí los diferentes τ -conjuntos considerados.