New families of 3D watermarks

Abstract

In recent years researchers have developed families of 3D watermarks that are built by composition, using a base array and a periodic sequence of shifts. Multidimensional arrays that are constructed by composition of a base array and a suitably chosen sequence of shifts preserve the correlation properties of the base array. If the base array has good auto-correlation properties, the multidimensional array and appropriately defined family members will preserve the same properties. This motivates us to see what happens if we build 3D watermarks by composition using as a base array 2D Legendre arrays and as a sequence of row-column shifts derived from a cyclic group of elements in Fp × Fp. We use scalar multiples of these shifts to generate families of 3D watermarks. For the shifts we consider two types of cyclic groups, the multiplicative group of Fp2 and a cyclic group of points on an elliptic curve over Fp. The 3D watermarks constructed in this work have good correlation values with peak values considerably larger than non-peak values, only two nonpeak values for constructions that use shifts derived from Fp2 and a maximum of 4 non-peak values using shifts derived from points on an elliptic curve. In the case of constructions using shifts derived from points on an elliptic curve, the number of correlation values is determined by the number of repeated differences between certain pairs of shifts, which in turn is determined by the number of solutions of systems of equations generated by the formulas for point additions. We compute the values of linear complexity for some 3D watermarks constructed by our methods and we show that these values compare favorably with the linear complexity values for other known arrays constructed by composition. Finally, we show an example of how to use this type of 3D watermarks in video watermarking.

En los últimos años, los investigadores han desarrollado familias de marcas de agua 3D construidas por composición, utilizando una matriz base y una secuencia periódica de desplazamientos. Las matrices multidimensionales que se construyen mediante la composición de una matriz base y una secuencia de desplazmientos elegida adecuadamente conservan las propiedades de correlación de la matriz base. Si la matriz base tiene buenas propiedades de autocorrelación, la matriz multidimensional y los miembros de la familia adecuadamente definidos conservarán las mismas propiedades. Esto nos motiva a ver qué sucede si construimos marcas de agua en 3D por composición usando como una matriz base arreglos 2D de Legendre y como una secuencia de desplazmientos de fila-columna secuencias derivadas de un grupo cíclico de elementos en Fp × Fp. Utilizamos múltiplos escalares de estos desplazamientos para generar familias de marcas de agua 3D. Para los desplazamientos, consideramos dos tipos de grupos cíclicos, el grupo multiplicativo de Fp2 y un grupo cíclico de puntos en una curva elíptica sobre Fp. Las marcas de agua 3D construidas en este trabajo tienen buenos valores de correlación con valores pico considerablemente más grandes que los valores no pico, solo dos valores no pico para construcciones que usan desplazamientos derivados de Fp2 y un máximo de 4 valores no pico utilizando desplazamientos derivados de puntos en una curva elíptica. En el caso de construcciones que utilizan desplazamientos derivados de puntos en una curva elíptica, el número de valores de correlación está determinado por el número de diferencias repetidas entre ciertos pares de desplazamientos, que a su vez está determinado por el número de soluciones de sistemas de ecuaciones generadas por las fórmulas para sumar puntos en una curva elíptica. Calculamos los valores de complejidad lineal para algunas marcas de agua 3D construidas por nuestros métodos y mostramos que estos valores se comparan favorablemente con los valores de complejidad lineal para otras matrices conocidas construidas por composición. Finalmente, mostramos un ejemplo de cómo usar este tipo de marcas de agua 3D en marcas de agua de video.