Reissner’s plate theory in the framework of asymmetric elasticity

Abstract

The purpose of this thesis is to develop a new mathematical model for the bend- ing of thin elastic plates with microstructure. Our approach is based on a generalization of the classical Reissner plate theory, which takes into account the transverse microrotation of the plates. Our model assumes polynomial approximations over the plate thickness of asymmetric stress, couple stress, displacement, and microrotation, which are consistent with the elastic equilibrium, boundary conditions and the constitutive relationships. We use a Cosserat free elastic energy function which includes the energy of the transverse shear couple stress. The application of the method of Lagrange multipliers to the free elastic energy function leads to a system of 9 equations describing the bending (6 equations) and the twisting (3 equations) of the plate. Analytical solutions for the deflection of the plate are calculated for a square plate made of syntatic foam. The Fourier series method is applied. The solutions are compared with a model developed by Eringen and also with solutions obtained from the classical theory. The results illustrate the influence of transverse microrotations on the bending of the rectangular plate.

El propósito de esta tesis es desarrollar un nuevo modelo matemático que gobierne la deformación de placas delgadas considerando los efectos de la microestructura. Nuestra metodología esta basada en la generalización de la teoría de placas de Reissner, tomando ahora en consideración el efecto de la microestructura. En nuestro modelo se asume que los esfuerzos y los momentos acoplados se pueden aproximar por medio de polinomios cuya variable dependiente se encuentra a lo largo del grosor de la placa. Los vectores de desplazamiento y microrotación también adquieren una representación por medio de polinomios. Los grados del polinomio se eligen a modo las ecuaciones de equilibrio elástico, las condiciones de frontera y la ley de Hooke cumplan el principio de consistencia. El sistema de ecuaciones en derivadas parciales que gobierna la deformación de la placa se obtiene del funcional de energía elástica de Cosserat. El método de multiplicadores de Lagrange se aplica, en total se obtienen 9 ecuaciones donde 6 de ellas describen la deflexión de la placa y las restantes 3 la torsión. Las ecuaciones de deflexión las resolvemos por medio del método de series de Fourier. Como experimento consideramos una placa constituida de espuma sintética. Las soluciones anal ́ıticas son comparadas con un modelo desarrollado por Eringen y también con los resultados de la teoría clásica de elasticidad. Los resultados ilustran el efecto de la microestructura en la deflexión de la placa.