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Algunas factorizaciones ordenadas
De Jesus Pagan, Francisco J.
De Jesus Pagan, Francisco J.
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Abstract
In 2006, Anderson and Frazier defined the concept of a τ-factorization on an integral domain D. This notion generalized the theory of non-atomic factorizations over integral domains. Anderson and Frazier considered a symmetry relation τ over a set of nonzero and nonunit elements of an integral domain, denoted by D^# and defined a τ-product of two or more elements in D^# to be the products of elements that are related with respect to the relation τ. This notion summarizes many types of factorizations already studied, such as factorizations into primes, co-maximal factorizations, etc. In such theory, they mention that it can be extended to non symmetric relations, such as a partial order relation, but they never developed the idea in such a setting. For a,b∈D^# we define aτ_⊆ b, if (a)⊆(b). Then we can define and study the notion of τ_⊆-factorizations in an analogous way as Anderson and Frazier did for symmetric relations. We study such type of factorizations and some properties as: the existence of the greatest common τ_⊆-factor of any two nonzero nonunit elements, the least common τ_⊆-product, τ_⊆-irreducible elements, among others. We also consider some orders determined by τ_⊆, such as τ_⊂, its dual order τ_⊇ and a covering order. Also, we present some facts about the τ_⊆-irreducible τ_⊆-divisor graph of a nonzero nonunit element. We will focus on a Unique Factorization Domain D. But the reader can use some strategy to extend this to a Non-Unique Factorization Domain.
En el 2006, Anderson y Frazier definieron el concepto de una τ-factorización sobre un dominio integral D. Esta noción generaliza la teoría de factorizaciones no atómicas sobre dominios integrales. Anderson y Frazier consideraron una relación simétrica τ sobre el conjunto de los elementos distintos de cero y no unidades del dominio integral D, denotado D^#. Con esto definieron una τ-factorización o τ-producto como un producto de elementos que se relacionan con respecto a la relación τ. Esta noción resume muchos tipos de factorizaciones que se han estudiado, tales como las factorizaciones en primos, las factorizaciones co-maximales, entre otras. En dicha teoría, ellos mencionan que esto se puede extender a relaciones no simétricas como un orden parcial, pero ellos no desarrollaron esta idea en dicho ambiente. Para a,b∈D^#, se define aτ_⊆ b, si (a)⊆(b). Entonces podemos definir y estudiar la noción de τ_⊆-factorización en una manera análoga a como Anderson y Frazier lo hicieron para relaciones simétricas. Este trabajo se enfoca en el estudio de este tipo de factorizaciones y sus propiedades tales como el máximo τ_⊆-factor en común, el mínimo τ_⊆-producto en común, los elementos τ_⊆-irreducibles, entre otros. También consideramos otros ordenes determinados por τ_⊆, como τ_⊂, su orden dual τ_⊇ y un orden de cubierta. También presentamos algunos detalles acerca de grafos de τ_⊆-divisores τ_⊆-irreducibles de un elemento distinto de unidad y distinto de cero. Para ello nos concentramos en trabajar sobre dominios de factorización única. El lector puede ver algunas maneras de como este trabajo se puede extender a estructuras de factorización de irreducibles no única.
En el 2006, Anderson y Frazier definieron el concepto de una τ-factorización sobre un dominio integral D. Esta noción generaliza la teoría de factorizaciones no atómicas sobre dominios integrales. Anderson y Frazier consideraron una relación simétrica τ sobre el conjunto de los elementos distintos de cero y no unidades del dominio integral D, denotado D^#. Con esto definieron una τ-factorización o τ-producto como un producto de elementos que se relacionan con respecto a la relación τ. Esta noción resume muchos tipos de factorizaciones que se han estudiado, tales como las factorizaciones en primos, las factorizaciones co-maximales, entre otras. En dicha teoría, ellos mencionan que esto se puede extender a relaciones no simétricas como un orden parcial, pero ellos no desarrollaron esta idea en dicho ambiente. Para a,b∈D^#, se define aτ_⊆ b, si (a)⊆(b). Entonces podemos definir y estudiar la noción de τ_⊆-factorización en una manera análoga a como Anderson y Frazier lo hicieron para relaciones simétricas. Este trabajo se enfoca en el estudio de este tipo de factorizaciones y sus propiedades tales como el máximo τ_⊆-factor en común, el mínimo τ_⊆-producto en común, los elementos τ_⊆-irreducibles, entre otros. También consideramos otros ordenes determinados por τ_⊆, como τ_⊂, su orden dual τ_⊇ y un orden de cubierta. También presentamos algunos detalles acerca de grafos de τ_⊆-divisores τ_⊆-irreducibles de un elemento distinto de unidad y distinto de cero. Para ello nos concentramos en trabajar sobre dominios de factorización única. El lector puede ver algunas maneras de como este trabajo se puede extender a estructuras de factorización de irreducibles no única.
Description
Date
2023-05-10
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Keywords
Integral Domain, Unique factorization domain, τ-factorizations, τ-graphs