Soluciones explícitas para ecuaciones de reacción difusión no autónomas usando sitemas de Ermakov y Riccati

Abstract

El estudio de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) no lineales con coeficientes constantes hace parte fundamental de la ciencia no lineal. La necesidad de sus formulaciones han sido verificadas tanto en experimentos químicos como fisicos. Entre los ejemplos más conocidos se incluyen la ecuación no lineal de Schrödinger (fibra óptica), la ecuación de Fisher-Kolmogorov (competencia de genes) y la ecuación de Burgers (dinámica de fluidos). En las últimas décadas, la consideración de coeficientes dependiendiendo del tiempo así como coeficientes aleatorios, se ha convertido en una práctica común, ya que estas consideraciones hacen del modelo matemático una mejor descripción del problema en la vida real. Sin embargo, los coeficientes variables hacen del análisis del problema algo aún más complejo y el planteamiento de nuevos métodos para construir soluciones explícitas son una contribución valiosa que permite poner a prueba los métodos numéricos (aproximación común que se usa para resolver problemas no lineales en EDPs). En esta tesis como contribución principal se generaliza un método de transformación propuesto por Suslov et al. para la ecuación de reacción-difusión no autóno- ma. La transformación presentada permite trasladar un tipo de ecuación de reacción- difusión con coeficientes variables a la ecuación Kolmogorov-Petrovskii- (KPP), por lo tanto podemos mostrar soluciones explícitas para el caso general pre- sentado en esta tesis. Esta transformación esta determinada completamente por la solución (funciones paramétricas) de un sistema acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales, denominado sistema de Ermakov. Adicionalmente, se introduce un método alternativo, el cual resulta de una elección específica de las funciones paramétricas implícitas en la transformación y permite establecer una solución particular para el correspondiente sistema de Er- makov. Usando la transformación presentada en esta tesis, se construyen soluciones globales de tipo racional, exponenciales y como producto de funciones elípticas de Jacobi, para ciertos modelos de ecuaciones de reacción difusión no-autónomas. Estos resultados se obtienen después de determinar el balance apropiado en los coeficientes de la ecuación diferencial parcial no-autónoma (usando sistemas de Ermakov y Riccati). Siguiendo el mismo esquema de análisis se construyen soluciones explícitas para la ecuación de Burgers generalizada con ayuda de la transformación Hopf-Cole. Finalmente, se presenta un resultado de existencia para el problema de valor inicial de Cauchy, donde las soluciones pertenecen al espacio C([0,∞), C0(R)).

The study of nonlinear partial differential equations (PDEs) with constant coefficients makes part of the core of nonlinear science. The need for nonlinear PDEs has been verified in both chemical and physical experiments. Popular examples include nonlinear Schr¨odinger (fiber optics), Fisher-Kolmogorov (gene competition) and Burger’s (fluids dynamics) equations. In the recent decades, the consideration of time dependent coefficients and even random coefficients has been a common practice since they make the mathematical models a better match for real life problems. However, variable coefficients makes problems even more complex and new methods of finding explicit solutions are a valuable contribution, in particular, allowings to test numerical methods, (common approach to solve nonlinear PDEs problems). The analysis of a transformation method introduced by Suslov et al. is generalized to non-autonomous reaction diffusion equations as a main contribution o the work. The transformation presented here allows to translate a type of reactiondiffusion equation with variable coefficients into Kolmogorov-Petrovskii- Piskunov (KPP) equation, therefore we can build explicit solutions for the general case considered in this thesis. This transformation is completely determined by the solution (parametric functions) of a coupled system of nonlinear ordinary differential equations known as Ermakov system. Additionally, we introduce an alternative transformation method, which is a specific election of the parametric implicit functions in the transformation, establishing a particular solution to the corresponding Ermakov system. Using the transformation presented in this thesis, explicit and global rational and Jacobi elliptic solutions for non-autonomous reaction-diffusion equations are constructed. These results were obtained after determining a proper balance in the coefficients of the partial differential equation (using Ermakov-Riccati Systems). Following the same analysis scheme we build explicits solutions for the generalized Burgers equation with help of the Hopf-Cole transformation. Finally, an existence result of solutions for the Cauchy initial value problem in the space C([0,∞), C0(R)) is presented.