Pronóstico Bayesiano para el modelo logístico

Abstract

El 28 de enero de 1986, la NASA lanzó al transbordador Challenger a cumplir una misión en el espacio. A 73 segundos del despegue el Challenger explotó, dejando siete víctimas fatales. El accidente del Challenger se catalogó como uno de los peores desastres en la historia astronáutica. Es posible que el accidente se debiera a que las bajas temperaturas en la noche anterior y el día del lanzamiento ocasionaron daños en los aros que sellaban las diferentes etapas de los cohetes aceleradores s ́olidos del transbordador. La noche previa al accidente, los ingenieros que fabricaron el motor s ́olido del cohete, debatieron junto a los expertos de la NASA, el efecto que podría tener las bajas temperatura con relación al fallo de los aros. La discusión se baso ́ en un conjunto de datos obtenidos de 23 lanzamientos previos al Challenger. Sin embargo, la conclusión de esa discusión fue que los datos que se tenían no eran concluyentes para predecir un posible fallo en los aros, y tomaron la decisión de no detener el lanzamiento. Los 23 lanzamientos previos al Challenger se hicieron en temperaturas entre 53◦F y 81◦F, pero el Challenger fue lanzado a una temperatura de 31◦F, esto es, 22◦F menos de la temperatura mínima reportada en los lanzamientos previos. Para la comunidad científica ha sido de inter ́es el estimar la probabilidad de que el Challenger tuviera un accidente usando el conjunto de datos de los 23 lanzamientos previos. Se han desarrollado modelos de probabilidad, métodos de extrapolación y de pronostico. Motivados por el mismo interés proponemos dos métodos con enfoque Bayesiano que tratan el problema como uno de pronostico y desde un punto de vista de datos faltantes asumiendo que los datos faltantes siguen un patrón aleatorio (MAR). Mediante un estudio de simulación mostramos que ambos métodos son prometedores para analizar problemas de este tipo. Encontramos que el error cuadra ́tico medio de los estimadores del modelo es menor en los dos métodos propuestos comparando con otro método Bayesiano y el método de máxima verosimilitud. En general, se considera un modelo logístico con parámetro θ=(α,β). El primer método que se propone usa la distribución posterior de θ = (α,β) que se obtiene usando los datos observados para generar los datos faltantes con el fin de generar de la distribución posterior de θ∗ = (α∗,β∗) que se obtiene de los datos completos. Los datos completos se componen de los datos faltantes imputados y del remuestreo de los datos observados. Esto, para no usar directamente los datos observados en las dos estimaciones: la de θ y la de θ∗. El segundo método usa la distribución posterior de θ que se obtiene haciendo remuestreo de los datos observados para generar los datos faltantes con el fin de generar de la distribución posterior de θ∗ que se obtiene de los datos completos. Los datos completos se componen de los datos faltantes imputados y de los datos observados. En ambos métodos, ya con la distribución posterior de θ∗, se puede estimar la probabilidad de éxito del modelo Binomial tras el modelo logístico.

On January 28, 1986, NASA launched the Space Shuttle Challenger to accomplish a mission in space. At 73 seconds off, the Challenger exploded leaving seven fatal victims. The Challenger accident is listed as one of the worst disasters in astronaut history. The accident was possibly due to the low temperatures on the previous night and of the day of the launching that caused damages in the rings that sealed the different stages of the shuttle rockets. The night before the accident, the engineers who made the rocket’s solid engine debated together with NASA experts the effect that low temperatures could have on the failure of the o-rings. The discussion was based on a set of data from 23 shuttles launches previous to the Challenger. The conclusion of that discussion was that the data was not conclusive to predict a possible failure in the o-rings, and they decided not to stop the launch. The 23 launches prior to the Challenger were made at temperatures between 53◦F and 81◦F, but the Challenger was launched at a temperature of 31◦F, which is 22◦F less than the lowest temperature reported in previous launches. For the scientific community it has been of interest to estimate the likelihood of the Challenger accident using the data set from the previous 23 launches. Probability models, methods of extrapolation and prognostic have been developed. With the same motivation, we propose two methods with a Bayesian approach that treat the problem as forecasting and from a missing data point of view, assuming that the missing data follow a random pattern (MAR). Through of a small simulation study we showed that both methods are promising to analyze this type of problems. We found that the mean square error of the model estimators is lower in the two proposed methods compared to the other Bayesian method and the method of maximum likelihood. In general, a logistic model with θ = (α,β) parameter is considered. The first of the proposed method uses the posterior distribution of θ = (α, β), which is obtained using the observed data to generate the missing data in order to generate the posterior distribution of θ∗ = (α∗,β∗), the parameter of the model for the complete data. The complete data consists of the imputed missing data and the resampling of the observed data. This, is done to avoid the use of the observed data in both the estimation of θ and θ∗. The second method uses the posterior distribution of θ which is obtained by resampling the observed data, to generate the missing data in order to generate the posterior distribution of θ∗ that is obtained from the complete data. The complete data consists of the imputed missing data and the observed data. In both methods, and having the posterior distribution of θ∗, we can estimate the probability of success of the Binomial model that defines the logistic model.