Domains with ramified fractal boundaries and their effects on difussion in bronchial trees

Abstract

We investigate a class of domains with ramified fractal boundaries, which are an idealization of the bronchial trees in R2. Following the [53] approach, we provide a construction for these domains (Ω) with Γ∞ fractal boundary, for a parameter a with 1/2 ≤ a ≤ a∗ ≃ 0.593465. In turn, we establish several properties for the sets Ω and Γ∞, and prove in particular that Ω is a 2-set, and that Γ∞ is a d-set for d := − log (2)/ log (a). Also, motivated by some method employed by Jia [4, 5], we construct approximating sequences {an} and {bn} for the Hausdorff measure H d(Γ∞) of the fractal boundary Γ∞, in the sense that a_n ≤ H^d(Γ∞) ≤ b_n and a_n ↗ H d(Γ∞) ↙ b_n. In this regard, a way to approximate the length of bronchial trees in the pulmonary system. Next, we examine the diffusion of oxygen through the bronchial trees by considering the realization of a generalized diffusion equation ∂u/∂t − A u + Bu = f (t, x) in (0, ∞) × Ω with mixed Dirichlet-Robin boundary conditions ∂u/∂νA+ βu = g(t, x) on (0, ∞) × Γ∞; u = 0 on (0, ∞) × (Γ \ Γ∞); u(0, x) = u_0 ∈ L2(Ω), where A is an uniformly elliptic second-order (non-symmetric) differential operator with bounded measurable coefficients, B is a lower-order differential operator with unbounded measurable coefficients, and μ := ∂u/∂νA stands as a generalized notion of a normal derivative on irregular surfaces. Furthermore, β ∈ L^s_μ(Γ∞)^+ with ess inf|β(x)| ≥ β0, for some β0 > 0, x ∈ Ω and s > 1. Thus, following [37], a description of the variational formulation is presented, which is used for the qualitative study of the diffusion equation: Existence and uniqueness of the solution in the weak sense. For the adaptations of the problem: elliptic (9.2) and parabolic (10.3), the obtained results are largely related to the Lax-Milgram theorem (5.1.4) and semigroup theory (section 5.3), respectively.

En este trabajo estudiamos una clase de dominios con frontera fractal ramificada, que son una idealización de los árboles bronquiales en R2. Siguiendo el enfoque de [53], proporcionamos una construcción para estos dominios (Ω) con frontera fractal Γ∞, para un parámetro a con 1/2 ≤ a ≤ a∗ ≃ 0.593465. A su vez, establecemos varias propiedades para los conjuntos Ω y Γ∞, y probamos en particular que Ω es un 2-set, y que Γ∞ es d-set para d := − log (2)/ log (a). Además, motivados por un método empleado por Jia [4, 5], construimos un par de sucesiones {an} y {bn} para aproximar la medida de Hausdorff H d(Γ∞) de la frontera fractal Γ∞, tales que b_n ≤ H d(Γ∞) ≤ a_n y b_n ↗ H d(Γ∞) ↙ a_n. En este sentido, se establece una forma de aproximar la longitud de los árboles bronquiales en el sistema pulmonar. En segundo lugar, investigamos la difusión de oxígeno a través de los árboles bronquiales considerando la realización de una ecuación de difusión generalizada ∂u/∂t − A u + Bu = f (t, x) in (0, ∞) × Ω con condiciones de contorno mixtas de Dirichlet-Robin ∂u/∂ν_A+ βu = g(t, x) on (0, ∞) × Γ∞; u = 0 over (0, ∞) × (Γ \ Γ∞); u(0, x) = u_0 ∈ L2(Ω), donde A es un operador diferencial de segundo orden uniformemente elíptico (no-simétrico) con coeficientes medibles y acotados, B es un operador diferencial de orden inferior con coeficientes medibles no-acotados, y μ := ∂u/∂νA es una noción generalizada de derivada normal sobre superficies irregulares, además β ∈ L^{s}_μ(Γ∞)^+ con ess inf|β(x)| ≥ β0 para algún β0 > 0, x ∈ Ω y s > 1. De este modo, siguiendonos de [37], se presenta una descripción de la formulación variacional, la cual se utiliza para el estudio cualitativo de la ecuación de difusión: existencia y unicidad de la solución en el sentido débil. Para las adaptaciones del problema: elíptico (9.2) y parabólico (10.3), los resultados que se obtuvieron estan relacionados en gran medida por el teorema de Lax-Milgram (5.1.4) y la teoría de semigrupos (sección 5.3), respectivamente.