A type of a maximum common factor

Abstract

Motivados por las factorizaciones en elementos comaximales Anderson y Frazier crearon el concepto de factorizaciones generalizadas o teoría de τ -factorizaciones sobre dominios integrales. Sea D un dominio integral, U(D) es el conjunto de las unidades y τ una relación simétrica sobre el conjunto D#, el conjunto que consiste de los elementos distintos de cero que no son unidades en D. Un elemento x ∈ D# tiene una τ -factorizacion, si x = λx1 ∗ ∗ ∗ xn, donde λ ∈ U(D) y xiτ xj para todo i =/ j. También se dice que, x es un τ -producto de los x’i s, cada xi es un τ -factor de x o xi τ -divide a x. Un ejemplo que Frazier consideró fue la relación τ(n) sobre Z # definida por xiτ(n)xj si y solo si xi − xj ∈ (n). Es importante reconocer que cuando n ≥ 2, la relación τ(n) coincide con la relación de equivalencia módulo n en Z#. Con esta relación ella solo permitió que dos enteros se pudieran multiplicar si ambos estaban en la misma clase de equivalencia. Este nuevo producto resultó con nuevas interrogantes de teoría de números. En 2008, Ortiz generalizo4 el concepto algebraico de máximo común divisor. En caso de que se considere la relación τ(n) , definimos d como el máximo τ(n)-factor en común de x y y, τ(n)-GCD(x, y) si y solo si (1) d es un τ(n)-factor en común de x y y, y (2) si c es τ(n)-factor en común de x y y, c tiene que ser un τ(n)-factor de d. Resulta que la condición (2) es muy fuerte, la misma evitó que se garantizara la existencia del τ(n)-GCD. Ortiz en su tesis de doctorado dió varias ideas acerca de como debilitar la segunda condición. Una de ellas consistió en reemplazar la condición (2) por “si c es un τ(n)-factor en común de x y y, entonces c ≤ d”. Esta nueva versión Ortiz la denotó el τ(n)-MCD. La misma fue estudiada en el 2011 con Luna como parte de un proyecto de investigación subgraduada bajo la supervision de Ortiz. Ellos encontraron fórmulas para calcular el τ(n)-MCD, cuando n ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. Este trabajo presenta una caracterización del τ(n)-MCD, cuando n ∈ {5, 6, 8, 10, 12} y un algoritmo para calcular el τ(7)-MCD. Además, presenta algunas generalizaciones y algunas ideas de como continuar en los casos cuando n ∈ {9, 11, 13, 14, 15, . . .}.

Motivated by the comaximal factorizations Anderson and Frazier created the concept of generalized factorizations or the theory of τ -factorizations on integral domains. Let D be an integral domain and τ be a symmetric relation on the set D#, the set of nonzero nonunits elements in D. An element x ∈ D# has a τ -factorization, if x = λx1 ∗ ∗ ∗ xn, where λ ∈ U(D) and xiτ xj for any i =/ j. Also, x is called a τ -product of x’is, and each xi is called a τ -factor of x (is to say that xi τ -divide x). As an example, Frazier considered the relation τ(n) on Z# defined by xiτ(n)xj if and only if xi−xj ∈ (n). It is important to recognize that the relation τ(n) coincides with the equivalence relation modulo n, when n ≥ 2. With this relation Frazier allowed to multiply two integers only when both of them are in the same equivalence class. The new product defined opened the doors to many number theory questions. In 2008, Ortiz generalized the algebraic concept of the greatest common divisor in the theory of τ -factorizations. In case when considering the relation τ(n) , define d to be the greatest common τ(n)-factor (τ(n)-GCD) of x and y, if and only if (1) d is a common τ(n)-factor of x and y and (2) if c is a common τ(n)-factor of x and y, c v must be a τ(n)-factor of d. The condition (2) is very strong, the τ(n)-GCD does not exist in general. Ortiz in his dissertation gave several ideas about how to weaken the second condition. One of them, consisted in replacing (2) with “if c is a common τ(n)-factor of x and y, then c ≤ d”. This new version was denoted by τ(n)-MCD. It was studied in 2011 by Luna as an undergraduate research under Ortiz’s supervision. They found formulas to compute the τ(n)-MCD, when n ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. This work presents a characterization of τ(n)-MCD, when n ∈ {5, 6, 8, 10, 12} and an algorithm to compute the τ(7)-MCD. Also, presents some generalizations and some ideas about how to continue in the cases when n ∈ {9, 11, 13, 14, 15, . . .}.