Ecuación de Schrӧdinger en espacios con curvatura constante, separación de variables, oscilador armónico cuántico y potenciales admisibles

Abstract

Se discuten condiciones para la integrabilidad al cuadrado de las funciones de estado, al utilizar el potencial estándar en espacios de curvatura constante dos dimensionales. Además, se construye una familia de potenciales que contiene el potencial estándar para el oscilador armónico. Las fórmulas explícitas para la energía son obtenidas. Un compendio de varios sistemas coordenados sobre espacios de curvatura constante 2- dimensionales es presentado. Otras formas para el potencial del oscilador armónico en espacios de curvatura constante son propuestas: un potencial cuadrático y un potencial racional.Este último generaliza el potencial estándar y el potencial cuadrático. Sobre el espacio esférico, en caso de potenciales cuadrático o racional, se discuten restricciones para la energía por medio de métodos correspondientes a soluciones minimales de relaciones de recurrencia de tres términos. Alternativamente, se observa una posibilidad de obtener restricciones de la energía a partir de la continuidad de la función radial y su derivada.

Conditions for the integrability of the square of state functions are discussed when using the standard potential in two-dimensional spaces of constant curvature. Furthermore, a family of potentials that contain the standard potential is constructed. The explicit for- mulas for the energy are obtained. A compendium of various coordinate systems on 2-dimensional spaces of constant curva- ture is presented. Other forms for the harmonic oscillator potential in constant curvature spaces are proposed: a quadratic potential and a rational potential. The latter generalizes the standard and the quadratic potentials. On the spherical space, with quadratic or rational potentials, energy restrictions are discussed by methods from minimal solutions of recurrence relations of three terms. Alternatively, one observes a possibility to restrict the energy departing from continuity conditions of the radial function and its derivative.