Método "Local Discontinuous Galerkin" para la ecuación vectorial de Helmholtz

Abstract

Algunos de los fenómenos electromagnéticos que ocurren en diversas aplicaciones de ingeniería y problemas físicos, producto de la interacción de campos eléctricos y magnéticos, carga y corriente eléctrica, son modelados por medio de las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia. Puesto que dichos fenómenos electromagnéticos se presentan por lo general en geometrías complejas y materiales heterogéneos, el uso de métodos "Discontinuous Galerkin" (DG) es apropiado para la solución numérica. La formulación de los métodos DG permiten de manera natural el refinamiento en espacio y en el grado de aproximación y además el uso de mallas con nodos colgantes En este trabajo se presenta un estudio numérico de dos formulaciones del método "Local Discontinuous Galerkin" (LDG) aplicado a la ecuación vectorial de Helmholtz en 3D. Los principales operadores que componen el método se describen usando notación tensorial. Se propone la aplicación de un fujo numérico más mbinaciones convexas. El marco computacional desarrollado im- simple basado en complementa algunas de las propiedades del método como son aproximaciones de alto orden y orden variable por celda en mallas no estructuradas para geometrías 3D Se realizan una serie de experimentos para validar el código. Se presentan órdenes de convergencia para el método LDG en problemas con soluciones suaves y de poca regularidad. Se lleva a cabo un estudio numérico que muestra que el comportamiento del error es independiente del grado del polinomio al hacer variar el parámetro de estabilidad. Finalmente, se valida numéricamente la escalabilidad de una técnica de pre- condicionamiento desplazado para la ecuación vectorial de Helmholtz. Los resultados numéricos sugieren un comportamiento independiente del parámetro que controla el esténcil y grado del polinomio.

Algunos de los fenómenos electromagnéticos que ocurren en diversas aplicaciones de ingeniería y problemas físicos, producto de la interacción de campors eléctricos y magnéticos, carga y corriente eléctrica, son modelados por medio de las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia. Puesto que dichos fenómenos electromagnéticos se presentan por lo general en geometrías complejas y materiales heterogéneos, el uso de métodos "Discontinuous Galerkin" (DG) es apropiado para la solución numérica. La formulación de los métodos DG permiten de manera natural el refinamiento en espacio y en el grado de aproximación y además el uso de mallas con nodos colgantes En este trabajo se presenta un estudio numérico de dos formulaciones del método "Local Discontinuous Galerkin" (LDG) aplicado a la ecuación vectorial de Helmholtz en 3D. Los principales operadores que componen el método se describen usando notación tensorial. Se propone la aplicación de un fujo numérico más combinaciones convexas. El marco computacional desarrollado im- simple basado en complementa algunas de las propiedades del método como son aproximaciones de alto orden y orden variable por celda en mallas no estructuradas para geometrías 3D Se realizan una serie de experimentos para validar el código. Se presentan órdenes de convergencia para el método LDG en problemas con soluciones suaves y de poca regularidad. Se lleva a cabo un estudio numérico que muestra que el comportamiento del error es independiente del grado del polinomio al hacer variar el parámetro de estabilidad. Finalmente, se valida numéricamente la escalabilidad de una técnica de pre- condicionamiento desplazado para la ecuación vectorial de Helmholtz. Los resultados numéricos sugieren un comportamiento independiente del parámetro que controla el esténcil y grado del polinomio. A series of experiments were performed to validate the code. We present rates of convergence for the LDG method applied to problems with smooth and low regularity solutions. A numerical study carried out shows that the error behaviour is independent of the polynomial degree as the stability parameter varies. Finally, to validate numerically the scalability of the shifted preconditioning technique for the vector Helmholtz equation. The obtained numerical results suggest a behavior independent of the stencil parameter and degree polynomial.