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Abstract
The theory of τ-factorizations, also known as theory of generalized factorizations, was developed by Anderson and Frazier in 2006. It was the result of a generalization of the comaximal factorizations by McAdams and Swam, replacing the condition of being comaximals to being related on the set of nonzero nonunits elements in the integral domain. Denote D as an integral domain, U(D) as the set of units of D and D# as the set of elements nonzero nonunits of D. The authors considered symmetric relations defined over the nonzero nonunits elements. The usual theory of factorizations came to be a particular case, where the relation used is τ = D# × D#. An expression of the form a = λa1 · · · an, where λ ∈ U(D) and aiτ aj for all 1 ≤ i 6= j ≤ n, is called a τ-factorizarion of a. Each ai is called a τ-factor of a and a is a τ -product of ai. Furthermore, it is possible to obtain particular cases, such as factorizations in irreducibles elements, primals, and others, by taking τ = S × S, where S is the set of irreducible elements or primals respectively. This work studied the relation τR, where R ⊆ D × E, D and E are integral domains, and τ is defined on D#. The relation τR is defined as xτRy, if and only if there exist a, b ∈ D# such that aτ b, aRx, and bRy. That is, τR is “the image of τ with respect to the relation R”. The properties of τR that can be inherited from τ in τR are analyzed. It must be clarified that although the definition is given with respect to the image of a relation, most of the work is focused in different types of functions, such as one to one and surjectives functions, homomorphisms, and others. The principal objective is to provide a way to study τ-factorizations and structural properties using the images of the functions.
La teoría de τ -factorizaciones, también conocida como la teoría de factorizaciones generalizadas, fue desarrollada por Anderson y Frazier en el año 2006. Fue el resultado de una generalización de las factorizaciones comaximales de McAdam y Swam, reemplazando la condición de ser elementos comaximales a elementos que se relacionan en los elementos que no son cero y no son unidades. Se denota a D omo un dominio de integridad, U(D) como el conjunto de elementos invertibles o unidades de D y D# como el conjunto de elementos distintos de cero que no son unidades de D. Anderon y Frazier consideraron relaciones simétricas sobre los elementos que no son cero ni unidades del dominio de integridad. A un producto de la forma a = λa1 · · · an, donde λ ∈ U(D) y aiτ aj para todo 1 ≤ i 6= j ≤ n se le llama una τ-factorización. A cada elemento ai se le llama τ -factor de a y a es un τ-producto de los ai’s. La teoría usual de factorizaciones pasó a ser un caso particular donde la relación a tratar es τ = D# × D#. Además es posible obtener casos especiales como las factorizaciones de átomos o en elementos primales, entre otros; tan solo tomando τ = S × S, donde S es el conjunto de elementos irreducibles y elementos primales, respectivamente. Este trabajo se concentró en el estudio de una relación en particular, la relación τR, donde R ⊆ D×E, D y E son dominios de integridad donde τ está definida sobre D#. La relación τR se define por xτRy en E si y solo si existen a y b ∈ D# tales que aτ b, aRx y bRy. Es decir, que τR es la “imagen de τ con respecto a la relación R”. Se analizan que propiedades se pueden heredar sobre la relación τR de τ. Hay que hacer claro que, aunque la definición se provee con respecto a la imagen de una relación, el trabajo se concentra más en tipos de funciones tales como funciones inyectivas y sobreyectivas, homomorfismos, entre otros. El objetivo principal es proveer una manera de estudiar las τ-factorizaciones y las propiedades estructurales utilizando las imágenes de relaciones.
La teoría de τ -factorizaciones, también conocida como la teoría de factorizaciones generalizadas, fue desarrollada por Anderson y Frazier en el año 2006. Fue el resultado de una generalización de las factorizaciones comaximales de McAdam y Swam, reemplazando la condición de ser elementos comaximales a elementos que se relacionan en los elementos que no son cero y no son unidades. Se denota a D omo un dominio de integridad, U(D) como el conjunto de elementos invertibles o unidades de D y D# como el conjunto de elementos distintos de cero que no son unidades de D. Anderon y Frazier consideraron relaciones simétricas sobre los elementos que no son cero ni unidades del dominio de integridad. A un producto de la forma a = λa1 · · · an, donde λ ∈ U(D) y aiτ aj para todo 1 ≤ i 6= j ≤ n se le llama una τ-factorización. A cada elemento ai se le llama τ -factor de a y a es un τ-producto de los ai’s. La teoría usual de factorizaciones pasó a ser un caso particular donde la relación a tratar es τ = D# × D#. Además es posible obtener casos especiales como las factorizaciones de átomos o en elementos primales, entre otros; tan solo tomando τ = S × S, donde S es el conjunto de elementos irreducibles y elementos primales, respectivamente. Este trabajo se concentró en el estudio de una relación en particular, la relación τR, donde R ⊆ D×E, D y E son dominios de integridad donde τ está definida sobre D#. La relación τR se define por xτRy en E si y solo si existen a y b ∈ D# tales que aτ b, aRx y bRy. Es decir, que τR es la “imagen de τ con respecto a la relación R”. Se analizan que propiedades se pueden heredar sobre la relación τR de τ. Hay que hacer claro que, aunque la definición se provee con respecto a la imagen de una relación, el trabajo se concentra más en tipos de funciones tales como funciones inyectivas y sobreyectivas, homomorfismos, entre otros. El objetivo principal es proveer una manera de estudiar las τ-factorizaciones y las propiedades estructurales utilizando las imágenes de relaciones.
Description
Date
2019-05-15
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Keywords
factorizaciones, Relaciones, Dominios de integridad, Función, Homomorfismo