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The inhomogeneous diffusion equation of Wentzell type with discontinuous data
Guerrero Laos, Marilin Nathalya
Guerrero Laos, Marilin Nathalya
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Abstract
Let Ω ⊂ R^N (N ≥ 3) be a bounded domain with a Lipschitz continuous boundary Γ. In this work, we address the existence and uniqueness of weak solutions for two non-homogeneous diffusion problems in Ω: an elliptic type problem, −Au = f , and a parabolic type problem, ut − Au = f . Here, A is a second-order differential operator with measurable and bounded principal coefficients, not necessarily symmetric, and with measurable and unbounded lower-order coefficients. For both problems, we consider non-homogeneous Wentzell-type boundary conditions on Γ, given by the equation Nu − Bu = g, where Nu represents the conormal derivative of u and B is a second-order operator with similar characteristics to the operator A.
Additionally, under minimal assumptions, we obtain a priori estimates for the weak solutions of both problems. For the elliptic problem, these estimates depend on the norms of the data, while for the parabolic problem, the bounds depend on both the norms of the data and the initial condition. These results are fundamental for understanding the behavior and regularity of the solutions under the specific Wentzell-type
boundary conditions.
Sea Ω ⊂ R^N (N ≥ 3) un dominio acotado con frontera continua de tipo Lipschitz Γ. En este trabajo abordamos la existencia y unicidad de soluciones débiles para dos problemas de difusión no homogéneos en Ω: uno de tipo elíptico, −Au = f , y otro de tipo parabólico, ut − Au = f . Aquí, A es un operador diferencial de segundo orden con coeficientes principales medibles y acotados, no necesariamente simétricos, y con coeficientes de orden menor medibles y no acotados. Para ambos problemas, consideramos condiciones de frontera tipo Wentzell no homogéneas en Γ, dadas por la ecuación Nu − Bu = g, donde Nu representa la derivada conormal de u y B es un operador de segundo orden con características similares al operador A. Adicionalmente, bajo supuestos mínimos obtenemos estimaciones a-priori para las soluciones débiles de ambos problemas. Para el problema elíptico, estas estimaciones dependen de las normas de los datos, mientras que para el problema parabólico, las cotas dependen tanto de las normas de los datos como de la condición inicial. Estos resultados son fundamentales para comprender el comportamiento y la regularidad de las soluciones bajo las condiciones específicas de frontera tipo Wentzell.
Sea Ω ⊂ R^N (N ≥ 3) un dominio acotado con frontera continua de tipo Lipschitz Γ. En este trabajo abordamos la existencia y unicidad de soluciones débiles para dos problemas de difusión no homogéneos en Ω: uno de tipo elíptico, −Au = f , y otro de tipo parabólico, ut − Au = f . Aquí, A es un operador diferencial de segundo orden con coeficientes principales medibles y acotados, no necesariamente simétricos, y con coeficientes de orden menor medibles y no acotados. Para ambos problemas, consideramos condiciones de frontera tipo Wentzell no homogéneas en Γ, dadas por la ecuación Nu − Bu = g, donde Nu representa la derivada conormal de u y B es un operador de segundo orden con características similares al operador A. Adicionalmente, bajo supuestos mínimos obtenemos estimaciones a-priori para las soluciones débiles de ambos problemas. Para el problema elíptico, estas estimaciones dependen de las normas de los datos, mientras que para el problema parabólico, las cotas dependen tanto de las normas de los datos como de la condición inicial. Estos resultados son fundamentales para comprender el comportamiento y la regularidad de las soluciones bajo las condiciones específicas de frontera tipo Wentzell.
Description
Date
2024-07-10
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Journal ISSN
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Keywords
Wentzell, Lipschitz domain, A-priori estimates, Elliptic problem, Parabolic problem