El problema de Paulsen en teoría de operadores

Abstract

Hilbert space frame theory has a great impact in some of the deepest problems in pure and applied mathematics. Equal norm Parseval frames turn out to be significantly important to applications; nevertheless, their class is one of the least understood classes of frames. Because of the difficulty of finding equal norm Parseval frames the Paulsen problem was of great interest. In this investigation we study the fundamental aspects of Hilbert space finite frame theory. We analized the relationship between the chordal distance of two subspaces to the distance between their orthogonal projections, as well as the connection between the distance of proyections and the distance between the corresponding ranges of the analysis operators for Parseval frames. Finally, we analized the equivalence beetwen the Paulsen problem and a fundamental problem in operator theory known as the projection problem, besides, we present a proof of the equivalence between two generalizations of these problems.

La teoría de marcos en espacios de Hilbert tiene un gran impacto en algunos de los problemas más profundos en matemáticas puras y aplicadas. los marcos Parseval de igual norma son significativamente importantes en cuanto a sus aplicaciones; sin embargo, son una de las clases menos comprendidas hasta el momento. Debido a la dificultad para encontrar marcos Parseval de igual norma el problema de Paulsen presentaba gran interés. En esta investigación, estudiamos los aspectos fundamentales de la teoría de marcos en espacios de Hilbert de dimensión finita. Analizamos la relación entre la distancia cordal de dos subespacios y la distancia entre sus proyecciones ortogonales, así como la conexión entre la distancia de dos proyecciones y la distancia entre los correspondientes rangos de los operadores de análisis para marcos Parseval. Finalmente, analizamos la equivalencia entre el problema de Paulsen y un problema fundamental en teoría de operadores conocido como el problema de la proyección, además presentamos una prueba de la equivalencia entre dos generalizaciones de estos problemas.