Soluciones para la ecuación de Schrodinger no lineal con coeficientes variables: Existencia de solitones y su dinámica

Abstract

The study of non-linear Schr¨odinger (NLS) equation with time dependent coefficients (non-autonomous) is of increasing interest for the different applications in non-linear optics, Bose-Einstein condensates and water waves. In this master thesis we impose a balance between the time-dependent coefficients; they are part of a nonlinear coupled Riccati system. We will use solutions of this Riccati system to study the dynamics of soliton solutions for the non-autonomous NLS, for this end we will use multiparameter solutions for this system proposed by Suslov and Suazo in 2009. As a contribution, in this thesis we present a modification of the method presented by Suslov in 2011 that allow us to construct global solutions. In particular, we are able to construct bright, dark and Peregrine type solitons for the non-autonomous NLS. Further, we are able to manipulate the parameters in order to produce solitons with bending. Finally, using a classical uniqueness result for the autonomous NLS in the space of functions L ∞ t L q x , with q = 2,∞, we prove uniqueness of the Cauchy initial value problem for the non-autonomous NLS.

El estudio de la ecuación de Schrödinger no lineal (SNL) con coeficientes dependientes del tiempo (no autónomas) es de interés creciente para las diferentes aplicaciones en óptica no lineal, los condensados de Bose-Einstein y las ondas de agua. En esta tesis de maestría se impone un balance entre los coeficientes que dependen del tiempo; que son parte de un sistema de Riccati acoplado no lineal. Las soluciones de este sistema de Riccati se utilizarán para estudiar la dinámica de soluciones solitónicas para las ecuaciones SNL no autónomas, para tal fin, las soluciones con multiparámetros para el sistema que fue propuesto por Suslov y Suazo en el 2009 se aplicará. En esta tesis se presenta como contribución, una modificación del método introducido por Suslov en 2011. Esta modificación nos permite construir soluciones globales para la ecuación SNL autónoma. En particular, es posible construir solitones del tipo brillante, oscuros y Peregrino para las ecuaciones SNL no autónomas. Además, como se muestra en este trabajo, los parámetros pueden producir solitones con flexión. Por ´ultimo, se usa un resultado clásico de unicidad para las ecuaciones SNL autónomas en el espacio de funciones L ∞ t L q x , con q = 2,∞, para probar la unicidad de las soluciones de un problema de Cauchy de valor inicial para la SNL no autónoma.