Coseparation with respect to an interior operator in topology

Abstract

Motivated by the results obtained in the paper [1], concerning the notion of separation for an interior operator in topology, the notion of I-coseparation for an interior operator I in topology is introduced. A few examples that illustrate the behavior of this notion are presented for concrete interior operators in topology. Subsequently, it is determined under which topological properties this notion is closed. Later, it is obtained that in particular the I-coseparated topological spaces are closed under direct images of continuous functions and under quotient spaces but they are not closed under topological sums and topological subspaces. It is proved that the notion of I-coseparation generates a Galois connection between the class of all interior operators in topology and the conglomerate of all the subclasses of topological spaces. Using this result, a commutative diagram of Galois connections that shows the relationship between the notions of I-separation and I-coseparation is presented. Finally, it is proved that a characterization of the I-coseparated spaces in terms of separators, analogous to the one presented in [1] for the notion of I-separation, is not possible.

Motivados por los resultados obtenidos en el artículo [1], respecto a la noción de separación para un operador de interior en topología, se introduce la noción de I-coseparación para un operador de interior topológico I. Se presentan algunos ejemplos que ilustran el comportamiento de esta noción de coseparación para operadores de interior topológicos concretos. Posteriormente se determina bajo qué propiedades topológicas esta noción es cerrada, de donde se obtiene en particular que los espacios I-coseparados son cerrados bajo la imagen directa de funciones continuas y bajo espacios cocientes, pero no son cerrados bajo suma topológica y subspacios topológicos. Se prueba que la noción de I-coseparación genera una conexión de Galois entre la clase de todos los operadores de interior topológicos y el conglomerado de todas las subclases de espacios topológicos y usando este resultado se presenta un diagrama conmutativo de conexiones de Galois que muestra la relación entre las nociones de I-separación e I-coseparación. Finalmente se prueba que una caracterización de los espacios I-coseparados, en términos de separadores, análoga a la presentada en [1] para la noción de I-separación, no es posible.