Killing vector fields for a special class of metrics

Abstract

A one parameter local group of isometries of Riemannian or more generally pseudo-Riemannian manifolds is generated by a Killing vector field which is subjected to the commonly named Killing equations. The latter constitute an over determined system of first order partial differential equations which are even linear and homogeneous. However, in general such a system is not completely integrable. A brief presentation of the well-known results on the existence of non- trivial Killing vector fields (i.e. nontrivial solutions of Killing equations) is provided. These results also suggest a method of constructing Killing vector fields, which consists basically of studying consequences of the so called integrability conditions. That last part requires usually quite involved symbolic computations and therefore can be aided by the appropriate computer programs. The method is applied to a class of pseudo Riemannian structures that depends on two arbitrary holomorphic functions of one complex variable. Some constraints on these functions arise as a consequence of the existence of nontrivial Killing vector fields. The nature of these constraints and an explicit form of a Killing field are presented as the final result.

Un grupo de isometrías de un parámetro de una variedad Riemanniana o más generalmente de una variedad seudo- Riemanniana es generado por un campo vectorial de Killing, el cual esta sujeto a las ecuaciones comúnmente llamadas de Killing. Estas últimas se convierten en un sistema sobre determinado de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, las cuales, también son lineales y homogéneas. En general este sistema no es completamente integrable. Se provee una presentación de los bien conocidos resultados de la existencia de campos vectoriales de Killing (esto es, las soluciones de las ecuaciones de Killing). Estos resultados sugieren un método de construcción de campos vectoriales de Killing, el cual básicamente consiste de estudiar las consecuencias de las así llamadas condiciones de integrabilidad. Esta última parte requiere computaciones simbólicas y por lo tanto se usa un programa de computación simbólica apropiado. El método es aplicado a una clase de estructura seudo-Riemanniana que depende de dos funciones holomórficas arbitrarias de una variable compleja. Surgen algunas restricciones sobre estas funciones como consecuencia de la existencia de campos vectoriales de Killing. La naturaleza de las restricciones y una forma explicita de los campos de Killing son presentados como el resultado final.