Vibration of cylinders of fractal structures

Abstract

The objective of this study was to develop a dynamical model of elastic fractal solids. This model is built on the concepts of the fractal continuum, fractal time, and the corresponding fractal derivatives. Also this approach incorporates a modification of basic laws of continuum mechanics such as the conservation of mass, the balance of momentum, and the constitutive relationships. We established a corresponding linearized model to study the elastic vibrations. We considered special cases of torsional, longitudinal and transverse vibrations of fractal circular cylinders. We introduced fractal cylindrical coordinates and obtained systems of fractal partial differential equations in these coordinates for each of the mentioned cases. For each case the obtained corresponding analytic solutions exhibit distinctive size and time effect properties. In particular, we show the dependence of resonance frequencies and resonance forms on the internal fractal structures and the size of the cylinders.

El objetivo del presente estudio fue desarrollar un modelo dinámico para fractales sólidos elásticos. Este modelo está basado en los conceptos de continuo fractal, tiempo fractal y las correspondientes derivadas fractáicas. Este acercamiento también incorpora modificaciones de las leyes básicas de la mecánica continua tales como la ley de conservación de masa, leyes de balance de momento y las relaciones constitutivas. Establecemos el correspondiente modelo lineal para estudiar las vibraciones elásticas. Consideramos casos especiales de vibraciones torsionales, longitudinales y transversales de cilíndricos circulares fractálicos. Introdujimos coordenadas fractálicas cilíndricas y obtuvimos sistemas de ecuaciones diferenciales parciales en estas coordenadas para cada uno de los casos previamente mencionados. Asimismo para cada caso las correspondientes soluciones analíticas mostraron las distintivas propiedades de efecto de tamaño y de tiempo. En particular mostramos la dependencia que tienen las frecuencias de resonancia y la forma de la resonancia en las estructuras internas y el tamaño de los cilindros.