Aspectos computacionales del método Local Discontinuos Galerkin para mallas no estructuradas en 3D

Abstract

Muchos de los problemas físicos y de ingeniería son modelados a través de ecuaciones diferenciales e integrales, los cuales, en la mayoría de los casos, no tienen una solución analítica. Por esta razón, se recurre a aproximar la solución por medio de métodos numéricos. En las últimas décadas, se han propuesto una serie de métodos basados en aproximaciones discontinuas, con el fin de preservar propiedades físicas del problema, conocidos como métodos discontinuos de Galerkin (DG por sus siglas en ´ıngles). En particular, el método “Local Discontinuous Galerkin” (LDG), ha sido ampliamente estudiado en los últimos años. Varios artículos se han dedicado al análisis de la estabilidad y la convergencia del método aplicado a los problemas de difusión lineal y no lineal y a operadores diferenciales de alto orden. En esta tesis se proponen varios aspectos acerca de una implementación eficiente del método LDG aplicado a problemas lineales elípticos de segundo orden para mallas no estructuradas en 3D. Todos los trabajos e implementaciones, conocidas hasta la fecha, para el método LDG con mallas no estructuradas son para dominios en R2. Por tal razón, se desarrolló un marco computacional abstracto para implementar varios métodos DG. Los operadores más relevantes del LDG se describen de manera simplificada utilizando el producto de Kronecker. Se propone un algoritmo rápido para ensamblar el complemento de Schur de manera explícita, el cual reduce almacenamiento. Además, el código descrito muestra una gran flexibilidad debido a que está basado en el diseño de estructuras de datos abstractas. Se presentan una serie de experimentos numéricos para validar el código y para ilustrar el funcionamiento del método para mallas no estructuradas en 3D. En artículos previos se ha probado que el condicionamiento espectral de la matriz de rigidez presenta un comportamiento asintótico de O(h−2) en mallas estructuradas y no estructuradas donde h es el tamaño de la malla. Lo que hace necesario precondicionadores eficientes. Se presentan precondicionadores multiniveles semi-algebraicos para aproximaciones lineales que utilizan la base de interpolación de Lagrange. Estos fueron implementados y estudiados para la matriz del sistema generado de la discretización del LDG. Se muestra numéricamente que su rendimiento no se degrada o por lo menos se incrementa muy levemente según aumenta el número de incógnitas. Los precondicionadores son probados en problemas con grandes saltos en los coeficientes.

Many physical and engineering problems are modeled through differential and integral equations, which in most cases, do not have an analytical solution. For this reason, we approximate the solution by numerical methods. In recent decades, in order to preserve physical properties of the problem, a series of methods based in discontinuous approximations was proposed, known as Discontinuous Galerkin methods (DG). In particular, the Local Discontinuous Galerkin method (LDG), has been widely studied in recent years. Several papers have been devoted to the analysis of the stability and convergence of the method applied to linear and nonlinear diffusion problems and high order differential operators. In this thesis, we propose several aspects of the LDG method applied to linear second order elliptic problems on unstructured meshes in 3D. All work and implementations known to date, for the LDG method with unstructured meshes, were for domains in R2. For this reason, we developed a computational abstract framework to implement several DG methods. The most relevant operators for LDG are described, in simplified way, using Kronecker product. We propose a fast algorithm to assemble the Schur complement explicitly, which reduces the storage. In addition, the described code shows great flexibility because it is based on the design of abstract data structures. We present a series of numerical experiments to validate the code and to illustrate the performance of the method on unstructured meshes in 3D. In previous papers it has been proven that the spectral condition number of the stiffness matrix exhibits an asymptotic behavior of O(h−2) on structured and unstructured meshes where h is the mesh size. Thus efficient preconditioners are mandatory. We present semi-algebraic multilevel preconditioners for linear approximations that use Lagrange type interpolatory basis. These were tested and studied for the matrix of the system generated from LDG discretization. We show numerically that their performance does not degrade or at least increases very slowly as the number of unknowns augment. Preconditioners are tested on problems with high jumps in the coefficients.