Hyperbolicity and genuine nonlinearity conditions for certain P-systems of conservation law, weak solutions and the entropy conditions

Abstract

We consider a p-system of conservation laws that emerges in one dimensional elasticity theory. Such system is determined by a function W, called strain-energy function. We consider four forms of W which are known in the literature. These are St.Venant-Kirchhoff, Ogden, Kirchhoff modified, Blatz-Ko-Ogden forms. In each of those cases we determine the conditions for the parameters ρ0, µ and λ, under which the corresponding system is hyperbolic and genuinely nonlinear. We establish what it means a weak solution of an initial and boundary value problem. Next we concentrate on a particular problem whose weak solution is obtained in a linear theory by means of D’Alembert’s formula. In cases under consideration the p-systems are nonlinear, so we solve them employing Rankine-Hugoniot conditions. Finally, we ask if such solutions satisfy the entropy condition. For a standard entropy function, we provide a complete answer, except of the Blatz-Ko-Ogden case. For a general strictly convex entropy function the result is that for the initial value of velocity function near zero these solutions satisfy the entropy condition, under the assumption of hyperbolicity and genuine nonlinearity.

Nosotros consideramos un p-sistema de leyes de conservación que surge de la teoría de elasticidad unidimensional. Tal sistema es determinado por una función W, llamada función de energía. Consideramos cuatro formas de W cuales son conocidas en la literatura. Estos son los modelos de St.Venant-Kirchhoff, Ogden, Kirchhoff modificado, Blatz-Ko-Ogden. En cada uno de estos casos determinamos las condiciones para los parámetros µ, λ y f, bajo el cual el correspondiente sistema es hiperbólico y genuinamente no lineal. Establecemos que significa una solución débil de un problema de valor inicial y de frontera. Después nos concentramos en un problema particular cuya solución débil es obtenida en teoría lineal por medio de la fórmula de Lambert. En nuestro caso bajo consideración los p-sistemas son no lineales, así que empleamos las condiciones de Rankine-Hugoniot para solucionarlos. Finalmente nos preguntamos si tales soluciones satisfacen la condición de entropía. Para una función de entropía estándar probamos una completa respuesta, excepto del caso de Blatz-Ko-Ogden. Para una función de entropía general estrictamente convexa, el resultado es que para el valor inicial de la función velocidad cerca de cero estas soluciones satisfacen la condición de entropía, bajo la restricción de hiperbolicidad y no linealidad genuina.