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Método conservativo de diferencias finitas de alto orden para sistemas de ecuaciones de Gross-Pitaevskii en dos dimensiones
Bermúdez Sarmiento, Jason Josué
Bermúdez Sarmiento, Jason Josué
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Abstract
A method based on high-order finite differences, motivated by the general idea of Lie-Trotter division methods, is presented to approximate the solution of a coupled system of N nonlinear Schrödinger/Gross-Pitaevskii equations in 2D. The solution obtained from this scheme exactly preserves the Hamiltonian of the system and a numerical invariant that can be interpreted as a perturbation of the total mass with respect to the time step. Under certain conditions, for example, when the Josephson junction is neglected or when the initial conditions satisfy certain algebraic properties, conservation of mass of the system is also achieved. Using a suitable class of high order symmetric finite difference approximations of the 2D Laplacian operator, it is shown that, for potentials with positive Hessian matrix, the directional division scheme of τ + h^{2p} order in the l_{2,h}-norm , for p = 1, 2, 3, 4. To achieve a high order in time, the proposed basic time step is combined with well-known composition methods, resulting in conservative methods of order τ^{2q} + h^{2p} with q = 1, 2, 3, 4. Conservation and precision are theoretically and numerically validated for model problems with and without internal Josephson atomic bonding, for problems in which the analytical solution is known and others in which a reference solution will be used, obtained from a sufficiently fine mesh.
Se presenta un método basado en diferencias finitas de alto orden, motivado por la idea general de los métodos de división de Lie-Trotter, para aproximar la solución de un sistema acoplado de N ecuaciones no lineales de Schrödinger/Gross-Pitaevskii en 2D. La solución obtenida a partir de este esquema conserva de forma exacta el Hamiltoniano del sistema y una invariante numérica que puede interpretarse como la perturbación de la masa total respecto al paso de tiempo. Bajo ciertas condiciones, por ejemplo, cuando se desprecia la unión de Josephson o cuando las condiciones iniciales satisfacen ciertas propiedades algebraicas, también se logra la conservación de la masa del sistema. Usando una clase adecuada de aproximaciones de diferencias finitas simétricas de alto orden del operador laplaciano en 2D, se demuestra que, para potenciales con matriz hessiana positiva, el esquema de división direccional es del orden τ + h^{2p} en la norma l_{2,h}, para p = 1, 2, 3, 4. Para lograr un alto orden en el tiempo se combina el paso de tiempo básico propuesto con métodos de composición bien conocidos, como resultado se obtienen métodos conservativos de orden τ^{2q} + h^{2p} con q = 1, 2, 3, 4. La conservación y la precisión se validan teórica y numéricamente para problemas modelos con y sin unión atómica interna de Josephson, para problemas en los que la solución analítica es conocida y otros en los que se utilizará una solución de referencia, obtenida a partir de un mallado suficientemente fino.
Se presenta un método basado en diferencias finitas de alto orden, motivado por la idea general de los métodos de división de Lie-Trotter, para aproximar la solución de un sistema acoplado de N ecuaciones no lineales de Schrödinger/Gross-Pitaevskii en 2D. La solución obtenida a partir de este esquema conserva de forma exacta el Hamiltoniano del sistema y una invariante numérica que puede interpretarse como la perturbación de la masa total respecto al paso de tiempo. Bajo ciertas condiciones, por ejemplo, cuando se desprecia la unión de Josephson o cuando las condiciones iniciales satisfacen ciertas propiedades algebraicas, también se logra la conservación de la masa del sistema. Usando una clase adecuada de aproximaciones de diferencias finitas simétricas de alto orden del operador laplaciano en 2D, se demuestra que, para potenciales con matriz hessiana positiva, el esquema de división direccional es del orden τ + h^{2p} en la norma l_{2,h}, para p = 1, 2, 3, 4. Para lograr un alto orden en el tiempo se combina el paso de tiempo básico propuesto con métodos de composición bien conocidos, como resultado se obtienen métodos conservativos de orden τ^{2q} + h^{2p} con q = 1, 2, 3, 4. La conservación y la precisión se validan teórica y numéricamente para problemas modelos con y sin unión atómica interna de Josephson, para problemas en los que la solución analítica es conocida y otros en los que se utilizará una solución de referencia, obtenida a partir de un mallado suficientemente fino.
Description
Date
2023-05-10
Journal Title
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Keywords
Método conservativo de diferencias finitas, Ecuaciones de Gross-Pitaevskii, Análisis de convergencia, Análisis de error