Closure operators, torsion theories, and radicals in a non-abelian environment

Abstract

In the category of abelian groups, there exists a relationship between torsion theories and idempotent radicals where we can use one to find the other. In the process we can learn of different properties that apply to the associated subclasses. We can also use a pre-radical to obtain a closure operator and a closure operator to obtain a pre-radical. The properties of the pre-radical (whether it’s idempotent or a radical) indicate corresponding properties of the closure operator and vice-versa. In this thesis, we determine how much of the relationship that exists between closure operators, torsion theories and radicals in the category of abelian groups (Ab) can be extended to the category of all groups (Grp). Once it’s clear which properties do not apply, our goal is to find, for each property, which modifications can be made so that the property still holds.

En la categoría de grupos abelianos, existe una relación entre las teorías de torsión y los radicales idempotentes donde podemos usar uno para encontrar el otro. En el proceso podemos aprender sobre diferentes propiedades que aplican a las subclases implicadas. Además, podemos usar un pre-radical para obtener un operador de clausura y un operador de clausura para obtener un pre-radical. Las propiedades del pre-radical (si es idempotente o un radical) nos indican propiedades correspondientes en el operador de clausura y vice-versa. En esta tesis determinamos qué aspectos de la relación que existe entre los operadores de clausura, teorías de torsión y radicales en la categoría de grupos abelianos (Ab) se pueden extender a la categoría de todos los grupos (Grp). Una vez tengamos claro cuales propiedades no aplican, nuestra meta es investigar, para cada propiedad, qué modificaciones se les puede hacer para que la propiedad todavía aplique.