López-Mercado, Christian José

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    Grafos de divisores irreducibles
    (2020-04-21) López-Mercado, Christian José; Ortiz-Albino, Reyes M.; College of Arts and Sciences - Art; Ortiz-Navarro, Juan A.; Dziobiak, Stan; Department of Mathematics; Cruzado-Vélez, Ivette
    La teor\'ia de grafos de $\tn$-divisores $\tn$-irreducibles, conocidos tambi\'en como $\tn$-grafos, surge como una posible aplicaci\'on a la teor\'ia de $\tn$-factorizaciones. La teor\'ia de $\tn$-grafos se desarroll\'o conectando la teor\'ia de factorizaciones generalizadas y grafos de divisores irreducibles. En el 2013, Mooney public\'o algunos resultados que conectan las propiedades de los dominios con aquellas de los grafos, tal y como lo hizo Coykendall. Por ejemplo, un dominio con integridad $D$ es un $\tau$-UFD si y solo si el $\tau$-grafo simple de cualquier elemento distinto de cero y no unidad es un grafo completo. Nuestra definici\'on es m\'as estricta, y en algunos casos coincide con la definici\'on de Mooney. En nuestro caso, hay ocasiones en las que un entero puede tener un grafo completo de divisores irreducibles, pero su $\tn$-grafo no es un grafo completo. Presentamos algunas propiedades y caracter\'isticas generales de los $\tdos$-grafos. Exploramos propiedades de subgrafos e isomorfismos de grafos entre $\tdos$-grafos utilizando las propiedades de las factorizaciones estudiadas. En adici\'on, investigamos el problema del ``clique'' m\'aximo y el problema del isomorfismo de subgrafos entre los $\tdos$-grafos. Adem\'as, presentamos condiciones necesarias para que un grafo simple conexo sea un $\tdos$-grafo reducido y algunas implicaciones de este resultado. Finalmente, generalizamos los resultados obtenidos para $\tdos$-grafos para valores de $n \in \{3,4,6\}$ y valores primos para elementos en la clase de equivalencia $[n]_{\tn}$.