Morales-Morales, Einstein R.

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    Sobre la multiplicación escalar en curvas elípticas definidas en cuerpos de extensión óptimo
    (2013-06) Morales-Morales, Einstein R.; Bollman, Dorothy; College of Arts and Sciences - Sciences; Schutz, Marko; Colón, Omar; Department of Mathematics; Orozco, Edusmildo
    La seguridad de los sistemas de encriptación de clave pública está basada en la intratabilidad de ciertos problemas matemáticos, tales como la factorización de enteros que son producto de dos o más primos muy grandes. La encriptación de curva elíptica es un sistema de clave pública cuya seguridad está basada en la dificultad de encontrar el logaritmo discreto de un punto aleatorio en la curva elíptica con respecto al punto base público conocido. Una de las ventajas de la Criptografía de Curva Elíptica (CCE) es que esta puede ofrecer un alto nivel de seguridad con claves mucho más pequeñas que los sistemas tradicionales tales como RSA. En muchas aplicaciones, los tiempos consumidos en la encriptación de datos pueden significar un gran problema. Por tanto, una tarea muy importante es optimizar el rendimiento de las operaciones en los sistemas de encriptación, así como una de las operaciones más importantes y de las que más tiempo consume en los sistemas de CCE que es la multiplicación escalar. La mayoría de los esfuerzos para optimizar las operaciones de CCE hasta aquí, han sido dirigidas hacia la optimización de operaciones sobre cuerpos finitos de orden un número primo o una potencia de 2. Se han hecho muy pocos trabajos para operaciones sobre cuerpos finitos de orden una potencia de un primo mayor que 2. Una excepción es el trabajo de Daniel Bailey y Christof Paar quienes introdujeron el concepto de Cuerpos de Extensión Optimo (CEO). Un CEO es un cuerpo Fpm de orden pm el cual puede ser definido por un binomio irreducible xm − ω y donde p es un tipo especial de primo llamado un primo seudo Mersenne. Estos cuerpos son bien adecuados para implementaciones de “software” de sistemas CCE sobre máquinas de arquitectura fija. En este trabajo consideramos sistemas CCE sobre una variación de CEOs que son más adecuadas para implementaciones de hardware e ilustramos nuestras ideas con una implementación en un FPGA. En vez de un primo seudo Mersenne requerimos primos de la forma 2n − (2i + 1), con tal primo p, la reducción módulo p puede ser llevada a cabo con un mínimo número de desplazamientos y sumas. Dado un tamaño de “bit” s, consideramos el problema de determinar un primo p de la forma dada, un m tal que pm es igual o cercano a s y un polinomio f(x) = xm −ω que sea irreducible sobre Fp que optimice el rendimiento de las operaciones sobre el cuerpo Fpm. Un interés particular es elegir m = 2 ´o m = 3 ya que en estos casos hay formulas simples para la reducción módulo f(x) e inversos en Fpm. Un cuerpo comúnmente usado para CCE es F2 163, cuyos elementos tienen el tamaño de 163 “bits”. Para un cuerpo de tamaño comparable, nosotros elegimos p = 254 − 33 y m = 3. Los elementos de F(254−33)3 tienen un tamaño de 162 “bits”. En este caso elegimos el binomio irreducible x3 − 2 de modo que las multiplicaciones en las reducciones módulo f(x) puedan ser remplazadas por desplazamientos izquierdos. Comparando nuestra implementación de la multiplicación escalar sobre un FPGA con otra implementación publicada sobre el cuerpo F2 163, observamos que nuestra implementación es en promedio 4 veces más rápida.
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    Fast FPGA implementations of elliptic curve point multiplication
    (2018) Morales-Morales, Einstein R.; Bollman, Dorothy; College of Engineering; Colón, Omar; Orozco, Edusmildo; Rivera, Wilson; Department of Electrical and Computer Engineering; Rúa-de la Asunción, Armando
    Elliptic curve cryptography is a variant of public key cryptography in which encryption and decryption processes involve operations on an algebraic structure defined on an elliptic curve over a finite field. Elliptic curve cryptographic schemes based on this variant are attractive because they can guarantee the same level of security as other systems such as RSA using much shorter key lengths. For example, for the recommended security with a 3072 bits RSA key, only 256 bits are necessary for a key in an elliptic curve cryptosystem. Two fundamental aspects of a study of these cryptosystems are security and efficiency. The security of an elliptic curve cryptosystem is based on the intractability of solving the mathematical problem called the “Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem”. Interest in this problem is based on the fact that for sufficiently large group order, the solution of the discrete log problem is computationally in- tractable. On the other hand, the high demand for encryption of data and the constant changes in technology require that encryption schemes be ever more rapid and efficient. Because of the fact that elliptic curve point multiplication is both the most frequently used and the costliest operation used in elliptic curve encryption systems, efforts to improve the performance of these schemes have focused on this operation. We propose a fast FPGA implementation of elliptic curve point multiplication defined on a special type of field of the form GF(p3) and with a claimed level of security equal to 128 bits. We synthesized and simulated our implementation on Virtex-4, Virtex-5, and Virtex-6 FPGAs families. Comparing our running times with the best times currently found in the literature, we found that our times are up to 18 faster.