Algebras de Colombeu y ondas de choque

Abstract

En este trabajo damos una breve introducción al álgebra de Colombeau "G", en la cual tiene sentido el producto de distribuciones y mostramos algunas relaciones importantes de esta álgebra tal como la asociación " ≈ " . Consideramos un problema de Riemann para un sistema de Ecuaciones Diferenciales Parciales (E.D.P) que describe un cuerpo lineal elástico, en el cual la densidad es tomada constante. Las funciones desconocidas son la velocidad y el esfuerzo. Después utilizamos algunos esquemas numéricos para encontrar una solución numérica a este sistema. Dado que el sistema es no-conservativo, lo escribimos en forma conservativa y para este sistema encontramos la forma explícita de las soluciones débiles. Los resultados numéricos sugieren que las soluciones pueden ser consideradas como una superposición de dos ondas viajeras que representamos por medio de funciones discontinuas. Dado que el sistema de E.D.P tiene términos no lineales, los cuales inducen productos de distribuciones, entonces usamos la asociación en "G" para dar un significado a dichos términos. Así, siguiendo las ideas de Colombeau, hallamos la forma explícita de estas soluciones en "G" , las cuales no se encuentran en la literatura revisada.

In this work we give a brief introduction to the algebra of Colombeau "G" , in which the product of distributions is defined, and we show some important relations in this algebra, such as the association " ≈ " . We consider a problem of Riemann for a system of Partial Differential Equations (P.D.E’s) that describes a linear elastic body with a constant density. The unknown functions are the velocity and the stress. Next we use some numerical schemes to find a numerical solution for this system. Since the system is nonconservative, we rewrite it in conservative form, and for that system find the explicit form of the weak solutions. The numerical results suggest that the solutions can be considered as a superposition of two traveling waves that are represented by discontinous functions. Since the system of P.D.E’s has nonlinear terms which induce distribution products, we use the association in "G" to give a meaning to the above mentioned terms. In this way, following the ideas of Colombeau, we find the explicit form of the solutions in"G" , which are not in the literature we have reviewed.