On the formalism of quantum mechanics constructed with the dispersion relation of deformed special relativity

Abstract

Over the last ten years there has been a significant effort to develop Deformed Special Relativity (DSR). This theory has two observer invariant scales: the speed of light,(c), and the Planck energy,(Ep). It is argued by F. Girelli, E.R. Livine, and D. Oriti that this type of theory is an effective flat limit of quantum gravity. The idea behind the formulation of such theories is that at energies comparable to EP the energy momentum dispersion relation E2 = p2c2 + m2c4 must be modified by quantum gravitational effects. As shown by Amelino-Camelia and Piran the dispersion relation will have the general form: E2 = p2c2 + m2c4 + λE3 + ··· where λ is of the order of Planck length (inverse of Ep) This modification of the dispersion relation induces changes in the structure of the relativistic wave equations and the Schrödinger equation. The main goal of this project is to determine the form of the DSR-modified Schrödinger equation and to explicitly calculate the DSR corrections to its solutions for d = 1 and d = 3 problems. The Free Particle, the Harmonic Oscillator, and the Hydrogen Atom were studied. The study also includes applications of the Lagrangian formalism and the effects of local gauge transformations on the Lagrangian of the theory.

Durante los últimos diez años se ha observado un esfuerzo importante para desarrollar la teoría llamada Deformed Special Relativity (DSR). Esta teoría tiene dos escalas invariantes: la velocidad de la luz (c) y la energía de Planck (Ep). Se argumenta por F. Girelli, Livine E.R., y D. Oriti que este tipo de teoría es un límite efectivo para el espacio-tiempo plano de la gravedad cuántica. La idea detrás de la formulación de estas teorías es que a energías comparables a, la relación de energía y momentum E2 = p2c2 + m2c4 debe ser modificada por efectos gravitacionales cuánticos. Como ha sido demostrado por Amelino-Camelia y Piran la relación de dispersión tendrá la forma general: E2 = p2c2 + m2c4 + λE3 , donde λ es del orden de la longitud de Planck (el inverso de EP ). Esta modificación de la relación de dispersión induce cambios en la estructura de las ecuaciones de onda relativista y la ecuación de Schrödinger . El objetivo principal de este trabajo es determinar la forma de la ecuación de Schrödinger modificada por los efectos de DSR y calcular explícitamente las correcciones inducidas por DSR a las solucione de la ecuación de Schrödinger para problemas de una y tres dimensiones. Se estudiaron la partícula libre, el oscilador armónico, y el átomo de hidrógeno. El estudio también incluye aplicaciones del formalismo de Lagrange y los efectos de las transformaciones de calibre local en la función de Lagrange de la teoría.