Analysis of conduction heat transfer in semi-infinite slabs and infinite quadrants with discrete heat generation sources using green's function integral methods

Abstract

The problem of steady state heat conduction in semi-infinite plates and infinite quadrants of constant thermal conductivity, with discrete heat generating sources and Dirichlet boundary conditions (temperature specified on the boundary) was solved using the method of Green’s functions using the integral techniques. The Green’s functions for the geometries were found by the method of images. These functions were then employed for the solution of five cases for semi-infinite slabs with heat generation sources of different geometry. These were: a thin plate heating source, a hollow box heating source, a square prismatic heating source, finite line heating source and a thin cylindrical heating source. For infinite quadrants a heat generation source of the form of a thin current carrying wire in the form a square was considered. The heat sources were idealized as internal thermal energy generation. Solutions found with this method always yield closed form algebraic expressions or analytical solutions or “almost analytical” solutions (in the form of an integral). Results found in this work were validated and compared with the numerical method of finite elements in Ansys 6.0. It was concluded that, for the cases considered here, the method used in the present work is elegant and is superior in terms of computational requirements.

En el presente trabajo se resolvió el problema de conducción de calor en estado estable en placas semi-infinitas y cuadrantes infinitos de conductividad térmica constante, con fuentes discretas de generación de calor y condiciones de frontera tipo Dirichlet (temperatura especificada en la frontera), utilizando el método de las funciones de Green usando las técnicas integrales. Las funciones de Green para las geometrías fueron obtenidas mediante el método de imágenes. Estas funciones fueron luego empleadas para la solución de cinco casos para placas semi-infinitas con fuentes de generación de calor de diferente geometría. Estas fueron: una placa lineal, una caja hueca, un prisma de base cuadrada, una línea finita y un cilindro de parede delgadas. Para el caso de los cuadrantes infinitos se resolvió un caso con generación de calor cuya forma fue: un alambre fino colocado a lo largo del perímetro de un cuadrado. Las fuentes de generación de calor se idealizaron como generación interna de calor. Las soluciones obtenidas con este método siempre resultan expresiones algebraicas sencillas o soluciones “analíticas” y “cuasi- analíticas” (en la forma de una integral). Los resultados obtenidos en el presente trabajo fueron comparados con el método numérico de elementos finitos, el software utilizado fue Ansys 6.0. Se concluyó que, para los casos considerados aquí, el método empleado en la presente investigación es superior en términos de elegancia y tiempo computacional.