Ƭ-Mutiplicative sets

Abstract

Motivated by McAdams and Swan work, Anderson and Frazier developed a theory called the theory of τ -f actorizations. It is a type of generalized factorization theory on integral domains. They used symmetric relations (denoted by τ ) on the set of nonunit nonzero elements of an integral domain D (denoted by D] ), in order to define what they called a τ -factorization of an element of D] . They called any factorization of an element x in D] of the form x = λx1 ·x2 · · · xn where xiτ xj for all i 6= j with 1 ≤ i, j ≤ n and λ ∈ U(D), a τ -f actorization of x. They classified the results based on three types of relations: divisive, multiplicative and associatedpreserving relations. This theory has been studied by Hamon (2007), Ortiz (2008), Reinkoester (2010) and Juett (2012). This work considered some preliminary definitions in order to study the theory of τ -factorizations with respect to an element, and further develops the most important types of relation of this theory. Several equivalences to the main types of definitions were obtained and then used to prove known results from other perspectives. In some cases, the results were more natural and their proofs were easier than the one provided in previous research works. It must be noted that this is the first attempt to try to understand what divisive, multiplicative and associatedpreserving relations mean. All the work previously done considered such type of relations, but the authors did not try to understand the nature of them. They used them only to prove theorems, because these relations provided a good behavior when the τ -factorizations were studied. Furthermore, this investigation studied some sets with specific properties with respect to a symmetric relation on D] and the connection with the τ -factorization theory. Finally, several examples were provided and some results were developed about the “τ -sets” on usual commutative ring properties.

Motivados por el trabajo de McAdams y Swan, Anderson y Frazier desarrollaron una teoría llamada la teoría de τ -factorizaciones. Esta es un tipo de teoría de factorizaciones generalizadas en dominios integrales. Ellos usaron relaciones simétricas (denotadas por τ ) en el conjunto de elementos diferentes de cero y unidades de un dominio integral D (denotado por D# ), para definir una τ -factorizació de un elemento en D# . Ellos definieron una τ -factorización de un elemento x en D# como una expresión de la forma x = λx1 · x2 · · · xn donde xiτ xj para todo i ≠ j con 1 ≤ i, j ≤ n y λ ∈ U(D). Anderson and Frazier (2006) clasificaron los resultados basados en tres tipos de relaciones; divisiva, multiplicativa y una relación que preserva asociados. Esta teoría ha sido estudiada por Hamon (2007), Ortiz (2008), Reinkoester (2010) and Juett (2012). En este trabajo se consideraron algunas definiciones preliminares con el fin de estudiar la teoría de τ -factorizaciones con respecto a un elemento y desarrollar más a fondo las más importantes definiciones acerca de esta teoría. Fueron obtenidas algunas equivalencias de los principales tipos de relaciones y se utilizaron para probar resultados conocidos desde otra perspectiva. En algunos casos, los resultados fueron más naturales y sus pruebas más fáciles que las presentadas en trabajos previos. Este es el primer intento de tratar de entender el significado de las relaciones divisivas, multiplicativas, y las relaciones preserva-asociados. Toda las investigaciones previas consideraron esos tipos de relaciones, pero no estudiaron su naturaleza. Solo fueron usadas para probar teoremas, porque se necesitaban. Además, esta investigación estudió algunos conjuntos con propiedades específicas con respecto a una relación simétrica en D# y la conexión con la teoría de τ -factorización. Finalmente, varios ejemplos fueron proporcionados y algunos resultados fueron desarrollados acerca de los τ -conjuntos˝ en usuales propiedades de anillos conmutativos.